Den filosofiske matematikbog – Euklids Elementer

Euk­lid af Joseph Durham (1814–1877). Foto: Flickr / Rod­tuk under Attri­bu­tion-Non­Com­mer­cial-Share­Alike 2.0 Gener­ic (CC BY-NC-SA 2.0)

Et af de mest markante aftryk, antikken har sat på vores verden i dag, er gennem matematikken. Og det kan vi takke Euklid og hans værk Elementer for. Cand.mag Chr. Gorm Tortzen forklarer, hvordan Euklid banede vejen for, at vi som samfund i dag accepterer, at verden med fordel kan beskrives i tal og linjer.

Den antikke ver­den har efter­ladt sig mange og meget forskel­li­gart­ede spor: Bygninger, kun­stværk­er og mange for­mer for lit­ter­atur, som på forskel­lige tid­spunk­ter i den senere his­to­rie har sat sig dybe og ofte meget syn­lige spor. I Dan­mark har man på adskil­lige museer direk­te adgang til antikkens kun­stværk­er, over­alt er der i den ældre bygn­ings­masse arkitek­toniske citater fra oldti­dens bygn­ingsværk­er, og der udgives jævn­ligt nye over­sæt­telser af Homers Ili­ade, Sofok­les’ Ødi­pus, Pla­tons dialoger og mange andre klas­sikere. Én side af den antikke arv kom­mer sjæld­nere frem i lyset, selvom den nok har sat sig end­nu dybere spor: matem­atikken og de eksak­te viden­sk­aber. I fysikken, geografien, biolo­gien og med­i­ci­nen har man for længst dis­tanceret sig fra antikkens forskn­ing, selvom man er helt afhængig af dens ter­mi­nolo­gi; der­i­mod står ét værk uan­tastet som fun­da­mentet for matem­atikken: Euk­lids Ele­menter, der netop er udkom­met i en ny dan­sk oversættelse. 

Mange af Euk­lids bevis­er bruges stadig i skole­un­dervis­nin­gen – tænk bare på den såkaldte pythagoræiske læresæt­ning, som alle kan sige i en sim­pli­fi­ceret form: ’a i anden plus b i anden er lige med c i anden’ – som regel uden at kunne føre beviset. Andre af de over 600 sæt­ninger lever en mere stille tilværelse. Jeg vil i det føl­gende prøve at vise, hvor­for Euk­lids bog ikke blot er et inter­es­sant matem­atikhis­torisk værk, men fak­tisk er end­nu en nøgle til at forstå antikkens store filosofiske skol­er og deres inter­esse for vek­selvirknin­gen mellem det syn­lige og foran­derlige, fænomen­ver­de­nen, og den evige, uforan­derlige ver­den, som Pla­ton og især efter­tiden kaldte idéverdenen.

En Euklid-biografi

Navnet Euk­lid er i de flestes ører nok syn­onymt med geometri. Det er for så vidt også rigtigt, for hans mest kendte værk er uden diskus­sion Ele­menter i 13 bøger, et skel­sæt­tende værk i his­to­rien og med en meget lang virkn­ing­shis­to­rie, som jeg vil vende tilbage til. 

Euk­lids biografi er hur­tigt over­stået: Hans græske navn er det tem­melig almin­delige Euk­lei­des, ’den der har et godt ry’, han var aktiv i den nye stor­by Alexan­dria omkring 300 f.Kr., det vil sige kort efter byens grundlæggelse. Alexan­der den Store havde selv givet navn til byen, og efter hans død herskede hans gen­er­al Ptole­maios enevældigt over den sam­men med det egentlige Ægypten. Græk­erne opbyggede på meget kort tid en helt ny metropol på Afrikas nord­kyst, og her­til strømmede mange intellek­tuelle fra alle dele af den græske ver­den. Euk­lid med­del­er intet som helst om sig selv, og vi kan der­for kun slutte os indi­rek­te til hans herkomst, uddan­nelse og for­målet med hans Ele­menter. Vær­ket afs­lør­er dog så meget om hans viden­sk­a­belige og filosofiske ståst­ed, at det er rimeligt at antage, at han var uddan­net i Athen, som i et århun­drede havde været cen­trum for viden­sk­aben med front­fig­ur­erne Sokrates, Pla­ton, Aris­tote­les og Eudox­os. Alexan­dria gjorde med andre ord det samme som de amerikanske uni­ver­siteter efter kri­gen: De ptolemæiske konger støv­sug­ede land­sk­a­bet for viden­sk­a­beligt poten­tiale i det gam­le land og opbyggede på kort tid en forskn­ingsin­sti­tu­tion, Museion, som på mange måder overgik de gam­le skol­er i Athen, først og fremmest Pla­tons Akade­mi og Aris­tote­les’ Lykeion. Alt tyder på, at den unge Euk­lid er ful­gt med strøm­men, og at han i det nye Alexan­dria har fået mulighed­er for at udvikle sit mageløse værk i et aktivt viden­sk­a­beligt miljø, der senere talte stjern­er som Archimedes, der bestemte leg­e­mers opdrift i væske, for­mulerede vægt­stangsre­glen og den approx­imerede vær­di af π, og Eratos­thenes, som med et genialt geometrisk ræson­nement målte Jor­dens omkreds. Det var samme Eratos­thenes, der som den første kunne ’si’ prim­tal­lene ud af den uen­delige tal­række, hvilket stadig har betyd­ning, når man skal kon­struere koder eller bitcoins.

Hvor i Athen Euk­lid er blevet uddan­net og af hvem, kan man kun gætte på, men hans matem­a­tiske begreb­sver­den og det med­føl­gende sprog peger på en af de gam­le skoler.

Elementerne

Ele­menterne er som sagt på 13 ’bøger’, der for nogles ved­k­om­mende pass­er nogen­lunde med en bogrulle, mens andre langt over­skrid­er kapaciteten på en papyrus­rulle, der rum­mer ca. 35–40 af vores tryk­sider. Man har i spøg sagt, at Ele­menterne er den eneste græske bog, der ikke kræver forudv­i­den om græsk mytolo­gi og his­to­rie, og det er for så vidt sandt – der­i­mod får man et langt større udbytte af den, hvis man ved lidt om den filosofiske og matem­a­tiske forud­sæt­ning, som den uden videre går ud fra. Der er nem­lig ingen indled­ning, ingen fork­lar­ing på forud­sæt­ninger og mål­sæt­ning, kun en lige-på-og-hårdt-tekst, der uden nærmere fork­lar­ing beg­y­n­der med: ’Et punkt er det, som ikke har nogen del’. Det bliv­er man jo ikke så meget klogere af, med­min­dre man har en lær­er ved hån­den, der kan fork­lare mål og med i dette forun­derlige værk.

Inden vi går videre, er det klogt at få slået fast, hvad Ele­menter bety­der. Ordet er latin og er en over­sæt­telse af det græske Sto­icheia, der i sin grund­be­tyd­ning har ’gå, stå, være i række og geled’. I afly­ds­for­men stich- bruges det om en verselin­je (sti­chos), Sto­ichaderne er en række øer i Ægæer­havet, som lig­ger som på en snor, sto­i­chos er et geled sol­dater eller sten i et murværk, sto­icheion er vis­eren på et solur, der marcher­er tak­t­fast over skiv­en, og det bety­der der­for også ’mind­ste ele­ment i en større sam­men­hæng’ — lige­som dets latinske over­sæt­telse Ele­men­tum. Der find­es lige­frem et ver­bum, der bety­der ’opstiller i en ord­net række­følge’ sto­icheióo, og Euk­lid selv får i den senere antikke kom­men­tar­lit­ter­atur æresti­tlen Sto­icheiótes ’den der opstiller ele­menterne’ eller måske bedre: Sys­tem­byg­geren. Ele­menter bety­der alt­så et sys­tem opbygget som et korthus, hvor hver enkelt­del er plac­eret på sin rette plads og er forud­sæt­nin­gen for det videre sys­tem­a­tiske bygn­ingsar­be­jde, indtil slut­målet er opnået.

For et sys­tem er det. Fra den første def­i­n­i­tion af ’punkt’ til sid­ste sæt­ning i 13. bog går der en lige lin­je, hvor ele­ment bliv­er lagt på ele­ment. Alle ele­menter er enten def­i­n­i­tion­er (for eksem­pel hvad en lin­je er, en cirkel, en diam­e­ter, en trekant og så videre) pos­tu­later (for eksem­pel alle rette vin­kler er lig med hinan­den), aksiomer (det berømteste er: ’De stør­relser, som er lig men en og samme stør­relse, er også lig med hinan­den’), eller også er de resul­tatet af et bevis. Det er langt de fleste. Meto­den kaldes aksioma­tisk, og Euk­lids Ele­menter er det æld­ste eksem­pel på denne frem­gangsmåde, som har sat sig helt afgørende spor i viden­sk­aben over hele ver­den, ikke blot i Vesten.

Vær­ket er disponeret i fire hov­edafdelinger: Bøgerne I‑VI han­dler om plan­ge­ometri, VII-IX om tal­te­ori og forhold­slæren, X (der er lige så lang som tre af de andre bøger tilsam­men) om kom­men­su­rable linjestykker og rek­tan­gler, og endelig XI-XIII om rum­ge­ometri. I det føl­gende vil jeg stort set kun beskæftige mig med de seks første bøger, som netop er blevet over­sat til dan­sk. Disse seks bøger er så langt de aller­fleste når i geometri, og de er der­for også dem, der har fået den største virkningshistorie.

Proklos om Euklids værker

Den senan­tikke filosof Prok­los (400-tal­let e.Kr.) har skrevet en over­sigt over geome­triens his­to­rie og omtaler her Euk­lid og hans værk med disse ord:

“… Af over­be­vis­ning er han pla­toniker og fortrolig med denne filosofi, og der­for sæt­ter han også slut­ste­nen på Ele­menterne med kon­struk­tio­nen af de såkaldte pla­toniske leg­e­mer. Hans mange andre matem­a­tiske værk­er er fulde af en beun­dringsværdig præ­ci­sion og viden­sk­a­belig ind­sigt. Sådan er nem­lig hans Optik og Lære om Spe­jle, sådan er hans Ele­menter i Musikken og hans lille bog Om Opdelinger

Man må dog i særlig grad beun­dre ham for hans Ele­menter i Geome­trien på grund af deres organ­is­er­ing og valg af sæt­ninger og kon­struk­tion­er med sigte på den ordnede opstill­ing. Men mange ting kan tilsyneladende stemme overens med sand­he­den og være en følge af de viden­sk­a­belige prin­cip­per, mens de i virke­lighe­den før­er til en afvigelse fra udgangspunk­tet og nar­rer de mere over­fladiske; der­for har han også givet os metoder til en gen­nem­skuende forståelse af den slags, og når vi har dem, kan vi træne beg­y­n­derne i at afs­løre falske argu­menter og derved undgå at blive ledt på vild­spor. Dette værk, hvori han har givet os dette red­skab, har han givet navnet Falske Kon­klu­sion­er… Denne bog renser og træn­er, mens Ele­menterne omfat­ter en uigen­driv­elig og fuld­kom­men gen­nem­gang af den viden­sk­a­belige teori om emn­er inden for geome­trien. For han tog ikke alt det med, som han havde til sin rådighed, kun hvad han kunne stille op i række­følge. Han ind­drog også alle for­mer for syl­lo­gis­mer, både dem der hen­ter deres tro­værdighed fra årsager, og dem der tager udgangspunkt i beviser…”

Man må nok tage for­be­hold over for nogle af Prok­los’ pås­tande. Det er givet, at Euk­lid ikke kunne være pla­toniker på samme måde som nypla­tonikeren Prok­los var det 700 år senere – og som han meget forståeligt gerne ville have sit idol til også at være. At man slut­ter sit værk med kon­struk­tio­nen af de fem reg­ulære poly­e­dre er ikke ens­be­ty­dende med, at man skriv­er under på alle Pla­tons teori­er om sjæl­e­van­dring, gener­indring, det gode sam­fund og så videre, men Prok­los’ beskriv­else af Ele­menterne som et avanceret og strin­gent sam­men­hæn­gende aksioma­tisk værk opbygget af tidligere græske matem­atik­eres arbe­jde er fuldt dækkende. Der er dog ingen tvivl om, at geome­trien spillede en stor rolle i under­vis­nin­gen i Pla­tons Akade­mi og Aris­tote­les’ Lykeion. Det vis­er adskil­lige eksem­pler fra deres værk­er meget tydeligt, og her fremgår det også, at geome­trien lær­er men­nes­ket meget mere end bare at teg­ne trekan­ter og desu­den er uund­værlig for arkitek­ter og hånd­værkere. Jeg vil neden­for give eksem­pler på Pla­tons opfat­telse af geome­trien som erk­endelsesred­skab, men først skal bogen og dens metode præsenteres.

Euklids metode

Vil man se nærmere på Euk­lids metode, må man forstå hans tre­dobbelte frem­gangsmåde. Som nævnt går han uden nærmere begrun­delse ud fra nogle ube­viselige def­i­n­i­tion­er – og hvis man ikke vil acceptere dem, slut­ter leg­en her, ganske svarende til reak­tio­nen, hvis man ikke vil anerk­ende, at et kort­spil består af 52 kort i fire farv­er, og at spillere­glerne for for eksem­pel hjert­er­fri er sådan og sådan. Men gør man det, alt­så accepter­er Euk­lids def­i­n­i­tion­er, pos­tu­later og aksiomer, går vejen gen­nem sæt­ninger, der fordel­er sig i bevis­er (the­o­re­mer), som netop bevis­er, at noget under visse forud­sæt­ninger er til­fældet, og i kon­struk­tion­er (prob­le­mer), som påvis­er, at et eller andet rent fak­tisk kan lade sig gøre. Lad os tage det sid­ste først:

Første sæt­ning i Første Bog er en konstruktionsopgave:

Bog I.1

At kon­struere en ligesidet trekant på en giv­en begrænset ret linje.

[Vi har alt­så uden nærmere fork­lar­ing end def­i­n­i­tion­erne en giv­en begrænset lin­je, og på den skal vi (igen uden en egentlig fork­lar­ing) kon­struere en ligesidet trekant. Euk­lid bestem­mer! Så føl­ger sæt­nin­gen slag i slag:]

Lad AB være den givne begrænsede rette lin­je. Der skal nu kon­strueres en ligesidet trekant på den

rette lin­je AB.

★ 

[Stjer­nen bety­der, at nu skal læseren arbe­jde og tænke med; hen­vis­ningerne i […] doku­menter­er, at den pågældende ’han­dling’ er tilladt ifølge spillere­glerne. P = Pos­tu­lat, D = Definition]

Lad cirkel BCD være teg­net med A som cen­trum og AB som radius [P3], og end­videre cirkel ACE

med B som cen­trum og BA som radius, og lad de rette lin­jer CA og CB være trukket fra punkt C,

hvor cirklerne skær­er hinan­den, til punk­terne A og B [P1].

Da punkt A er cen­trum i cirkel CDB, er AC lig med AB [I.D15]; da end­videre punkt B er centrum

i cirkel CAE, er BC lig med BA. Og det blev også bevist, at CA er lig med AB; både CA og CB er

alt­så lig med AB. Men de stør­relser, som er lig med samme stør­relse, er lig med hinan­den [A1].

Alt­så er CA lig med CB. De tre lin­jer CA, AB og BC er alt­så lige store.

Alt­så er trekant ABC ligesidet [I.D20]. Og den er kon­strueret på den givne begrænsede rette lin­je AB.

Hvilket skulle gøres.

Denne tekst er en præ­cis gen­givelse af den græske, men de fleste vil vist være enige i, at den er stort set uforståelig. Det skyldes, at den end­nu ikke er led­saget af en fork­larende figur:

Herefter bliv­er alt klart – særligt hvis man selv teg­n­er med – og tek­sten står soleklar for en (hvor­for havde jeg ikke tænkt på det selv? spørg­er man sig). Det er også klart, at Euk­lid og alle antikke geome­tr­er benyt­tede sig af fig­ur­er, ja det er højst sandsyn­ligt, at fig­ur­erne i virke­lighe­den er det bærende i hele frem­still­in­gen, og at det er dem, stu­den­terne skulle ind­prente sig og lære ude­nad. Tek­sten kan selvføl­gelig ikke und­væres, men tilsam­men udgør de det nød­vendi­ge hele. Måske skulle man til­fø­je, at læserens medteg­n­ing af fig­uren udgør den endelige nøgle til forståelsen. Men det siger Euk­lid ikke noget om.

Her er vi ved noget meget cen­tralt ved Euk­lids måde at frem­stille prob­le­mer og deres løs­ning på: Han optræder som en slags tryllekun­st­ner, der for det for­bløffede pub­likum fremtryller løs­ninger uden rigtig selv at være til stede i lokalet. Bemærk, at alle ordr­er gives til en ukendt per­son. På græsk bruges en sær ver­bal­form, kaldet per­fek­tiv imper­a­tiv 3. per­son, som nærmest ud i luften beor­dr­er, at noget allerede skal være udført af en per­son, som i øvrigt ikke nævnes. Vi over­sæt­tere har givet ham kæle­navnet Den Hjælpende Hånd. Han er en slags pedel, som gør det prak­tiske arbe­jde på tavlen, mens pro­fes­soren ser til i ophø­jet ro. Den Hjælpende Hånd har pass­er og lin­eal til sin rådighed, men det er alt sam­men kun til ære for den uvi­dende hob, for ingen af teg­ningerne er andet end tydelig­gørelser, eksem­pli­fi­ceringer på tavlen af kends­gerninger, som er uafhængige af, om vi har fat­tet dem eller ej. Euk­lid er på en måde ligeglad, om vi forstår argu­men­ta­tio­nen; det er vores prob­lem. Hans inter­esse lig­ger i at lave mod­sigelses­frie bevis­er og kon­struk­tion­er. Han er givetvis også ligeglad med geome­triens prak­tiske anven­delse. Ele­menterne er ikke et pæd­a­gogisk værk, Euk­lid er ikke pæd­a­gog – tvær­ti­mod er han kun inter­esseret i at skrive et geometrisk man­i­fest ret­tet til ligemænd, ikke til skoleelever. Dette har han allerede gjort i den oven­for nævnte bog Falske Kon­klu­sion­er, der desværre ikke har over­levet. Den pop­u­lar­itet, som Ele­menterne opnåede i det vestlige skolevæsen, hvil­er alt­så på en måde på et fal­sk grund­lag. Bogen er ikke skrevet til børn.

Noget andet er så, at bogen (især de seks første bøger) udmær­ket kan bruges og stadig bliv­er brugt som intro­duk­tion til den todi­men­sion­ale geometri, plan­ge­ome­trien. Men det kræver lidt pæd­a­gogisk knofedt at gøre det inter­es­sant og ved­k­om­mende, og det er ikke altid lykkedes ude i trum­merum­men ved tavlen.

Euklids bog

Ved et lykketræf fandt man i 1898 i Ægypten en stump af en papyrus fra 75–125 e.Kr., alt­så 400 år efter Euk­lid. Stumpen inde­hold­er lidt af sæt­ning II.5 (et bevis) og en fig­ur. Lin­je 2 beg­y­n­der med et vanske­ligt genk­endeligt E (= 5) og fort­sæt­ter – uden ord­mellem­rum: ΕΑΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜ… ΤΜΗΘΗ ΕΙΣ ΙΣΑ ΚΑΙ… det vil sige: Hvis en ret lin­je deles i lige store og … Sam­men­lign teg­nin­gen med over­sæt­telsens neden­for.  Papyrusskriv­eren har ikke angivet bogstav­erne, men ellers er teg­ningerne ganske ens – lige­som i hele hånd­skrift­tra­di­tio­nen. Euk­lid bruger kun store bogstaver – de små blev først ind­ført i 800-tal­let e.Kr.

Papyrus Oxyrhynchus 29. Pub­lic Domain.


Prøv derefter med papir og blyant ved hån­den at læse sætningen:

Bog II.5

Hvis en ret lin­je deles i lige store og i ulige store stykker, er det rek­tan­gel, der indesluttes af hele lin­jens ulige store stykker plus kvadratet på stykket mellem del­ingspunk­terne, lig med kvadratet på halvdelen.

Lad nem­lig en ret lin­je AB være delt i lige store stykker i C og i ulige store stykker i D. Jeg påstår, at det rek­tan­gel, der indesluttes af AD og DB plus kvadratet på CD, er lig med kvadratet på CB.

★ 

Lad der nem­lig på CB være teg­net kvadratet CEFB [I.46]; lad BE være trukket, lad DG være trukket gen­nem D par­al­lelt med CE eller BF, lad KM være trukket gen­nem H par­al­lelt med AB eller EF, og lad endelig AK være trukket gen­nem A par­al­lelt med CL eller BM [I.30, I.31]. Da udfyld­nings­fig­ur CH er lig med udfyld­nings­fig­ur HF [I.43], skal DM være lagt til dem begge; alt­så er hele CM lig med hele DF [A.2]. Men CM er lig med AL, for­di AC er lig med CB [I.36]. Alt­så er AL lig med DF. Lad CH være lagt til dem begge, så er hele AH lig med gno­mon NOP. Men AH er rek­tan­glet indeslut­tet af AD og DB; for DH er lig med DB, alt­så er gno­mon NOP lig med det, der er indeslut­tet af AD og DB. Lad LG, som er lig med kvadratet på CD, være lagt til dem begge; så er gno­mon NOP plus LG lig med rek­tan­glet indeslut­tet af AD og DB plus kvadratet på CD. Men gno­mon NOP plus LG er hele kvadratet CEFB, som er kvadratet på CB. Alt­så er rek­tan­glet indeslut­tet af AD og DB sam­men med kvadratet på CD lig med kvadratet på CB. 

Alt­så: Hvis en ret lin­je deles i lige store og i ulige store stykker, er det rek­tan­gel, der indesluttes af hele lin­jens ulige store stykker plus kvadratet på stykket mellem del­ingspunk­terne, lig med kvadratet på halvde­len. Hvilket skulle bevises.

Ele­gant, ikke?

Euklid og Platon

Det er ganske inter­es­sant, at Pla­ton, der jo er to-tre gen­er­a­tioner ældre end Euk­lid (Pla­ton lev­ede i årene 427–347 f.Kr.), i sine skrifter tydeligt vis­er, at Euk­lids matem­atik var velk­endt stof i dannede kredse i Athen, og at han selv både beherskede geome­trien og opfat­tede den som afgørende for et ungt men­neskes udvikling og dan­nelse. I dialo­gen Menon hjælper Pla­tons alter ego, Sokrates, en slave­dreng til at føre bevis for, at arealet af et kvadrat for­dobles, hvis man tager diag­o­nalen som udgangspunkt for det nye kvadrat. Sokrates bruger det som argu­ment for, at slaven i egen­skab af men­neske har al viden skjult i sin udødelige sjæl, og at den kun ven­ter på at blive vækket eller ’gener­indret’. 

I Stat­en gør Sokrates lige­frem geome­trien til et af de grundlæggende fag i uddan­nelsen af sam­fun­dets støt­ter, de såkaldte vagter eller vogtere. Faget gør sam­men med arit­metik, musik og astrono­mi folk til bedre men­nesker og bedre sam­funds­borg­ere i det nye ide­al­sam­fund. Grun­den er, at men­nes­ket har poten­tialer, som både er pos­i­tive og neg­a­tive, og i det nye sam­fund skal de nyt­tige anlæg udvikles (og de destruk­tive fjernes eller min­imeres). Vagternes opgave er at reg­ulere sam­fun­det efter ’lov-og-orden-prin­cip­per’ udstukket af de langt klogere ledere, filosof­ferne. Vagterne skal der­for opdrages til at parere ordre, og deres aggres­sion skal tæmmes, sam­tidig med at deres fysik skal være i top­form. Det sid­ste sørg­er gym­nas­tikken for, mens matem­atikken, astronomien og musikken gør dem til har­moniske men­nesker ved at udvikle deres intellekt – eller psy­che, som Pla­ton siger. Man øjn­er i disse tanker kon­tur­erne af det mod­erne almene gymnasium. 

Selvom Euk­lid som sagt ikke kan tages til indtægt for hele Pla­tons mangeart­ede tankesæt, kan et af hans aller­stærkeste billed­er, hulebilledet fra Statens syvende bog, godt bruges til at illus­trere, hvor­dan han opfat­ter geome­trien – og der er næppe tvivl om, at Euk­lid ville skrive under på billedet også.

Hulebilledet

Pla­ton lad­er Sokrates fortælle føl­gende his­to­rie: Du skal tænke dig en dyb hule. Helt nede i bun­den af den lig­ger der nogle fanger, som er læn­ket, så de ikke kan dreje hov­edet, men kun se mod hulens bagvæg. Bag dem, alt­så læn­gere oppe i hulen, er der et bål, og mellem bålet og fangerne er der en vej. Når nogen går på vejen, ser fangerne der­for kun skyg­gerne af de for­bipasserende – lige­som dukkerne i et skyggeteater. Fangerne kan også høre de forvrængede stem­mer, men da de jo ikke ved bedre, må de opfat­te dette som virke­lighe­den. Dette er deres ver­den, og her føler de sig hjemme og konkur­rerer ind­byrdes om magt og ære. Nu er der imi­dler­tid en af fangerne, som får løs­net lænkerne og kan dreje hov­edet – med det resul­tat, at han bliv­er blæn­det af bålets flammeskær. Han vil helst vende sig igen til det trygge og hjem­lige, men bliv­er forhin­dret af en per­son, der senere også tvinger ham til at rejse sig og gå for­bi bålet og op til hulens mund­ing, hvor der er end­nu stærkere lys – både dag og nat. Først lang­somt og modvil­ligt lad­er fan­gen sig over­be­vise om, at der er en mere virke­lig virke­lighed uden for hulen, hvor det rigtige lys, soll­y­set skin­ner. Solen er den ulti­ma­tive lyskilde, og lys giv­er men­nes­kets iboende synssans mulighed for at virke og få ind­sigt. Når ex-fan­gen vender hjem til hulens mørke, er han mørke­blind, han falder over sine ben og bliv­er til grin blandt hule­boerne, der sagtens kan finde ud af det i mør­ket. Fak­tisk ønsker de fleste af dem, der kom­mer op i lyset, ikke at vende tilbage, for­di de ved, at de bliv­er udsat for chikane og ringeagt, når de fortæller hule­boerne, at der er en rigtig ver­den uden for deres skyggever­den, som kun er en afglans af virke­lighe­den. Der­for vender kun få tilbage, mens resten bare er glade for at være slup­pet ud og væk. 

Pla­tons hulebillede kan bruges (og mis­bruges) til mange ting, men i geometrisam­men­hæng kan billedet illus­trere, hvad der sker under et bevis: Euk­lid beg­y­n­der oppe i det abstrak­te, for­standens klare lys. Derefter bevæger han sig ned i hulen – til tavlen på bagvæggen, hvor Den Hjælpende Hånd teg­n­er lin­jer og slår cirkler, som egentlig er ganske lig­e­gyldige, for­di de allerede eksis­ter­er oppe i virke­lighe­den. De har kun ét for­mål: At fork­lare fangerne, det vil sige læserne, hvor­dan virke­lighe­den ser ud oven­for. Når vi teg­n­er med, får vi i ét berusende nu ind­sigt i, hvor­dan virke­lighe­den uden­for ser ud. Og geome­trien er virke­lighe­den. Der­for er det, at Pla­ton i dialo­gen Timaios lad­er den pythagoræiske filosof af samme navn fork­lare, at kos­mos i virke­lighe­den består af de fem reg­ulære poly­e­dre, som Euk­lid ender med at kon­struere i 13. bog – hvorefter han vis­er, at der er disse fem, hverken flere eller færre.

De fem pla­toniske legemer.

Euklids sprog

Når man arbe­jder med Euk­lid – særligt når man over­sæt­ter ham til et så fjernt sprog som dan­sk – bliv­er man opmærk­som på en række ejen­dom­melige forhold. For det første har Euk­lid ikke som vi to oldtidssprog at hente glos­er i. Vi kan for eksem­pel frit plukke i græsk og latin, når vi skal lave et nyt ord for et eller andet: Dino-saurus betyder:’farlig øgle’, tele-vision: ’fjern-syn’ gram­mo-fon: ’streg-lyd’ (for­di lyden gemmes i rillen på pladen), inter-nation­al: ’mellem-folke­lig’ og så videre og så videre. Han havde kun det græske dagligsprog og den geometriske prak­sis at gå ud fra. Ordet geo-metri er møn­sterek­sem­plet: ’Jord-måling’ var nok oprindelig et meget godt ord for opmåling af ager­jord, men på Euk­lids tid var det kom­met til at betyde noget ganske andet og mere abstrakt. Overvej som tan­keeksper­i­ment, hvor­dan vores naturv­i­den­sk­a­belige ter­mi­nolo­gi ville se ud uden græsk og latin! Euk­lid og hans kol­leger gjorde selvføl­gelig det eneste rigtige: De udval­gte dagligdags ord og definerede dem til enty­di­ge stør­relser: ’En lin­je er en længde uden bred­de’ [D2]. Lin­je er en over­sæt­telse af gramme, der egentlig bety­der ’noget teg­net, en streg’, lige­som punkt, semeion egentlig bety­der ’mærke’ og cen­trum ’prik’, nem­lig i midten af cirklen. I vores over­sæt­telse er den latinske over­sæt­telse af Euk­lid smu­glet ind: Lin­je er et lån fra lin­ea, punkt fra punc­tum, cirkel fra cir­cu­lus, rek­tan­gel fra rec­tan­gu­lum ’lige­hjør­net’ og så videre.

Et andet over­rask­ende træk er de meget få fagter­mer, som Euk­lid benyt­ter sig af. Nogle er defineret – det gælder sub­stan­tiv­er (punkt, lin­je, trekant, diag­o­nal) og adjek­tiv­er (lige, ulige, ligedan­net, ret, stump), der alle beteg­n­er til­stande eller egen­sk­aber ved de evige fig­ur­er ’oven over hulen’, mens transak­tion­erne nede på hulevæggen, der selvføl­gelig udtrykkes i ver­ber, ikke defineres. De er jo heller ikke nød­vendi­ge i samme grad, for­di handlingerne/konstruktionerne kun foregår på hulens tavle og af Den Hjælpende Hånd. Fak­tisk kan Euk­lid klare sig med ca. 200 ord i de første seks bøger, herun­der en mængde ’transak­tion­sord’ (for eksem­pel afsæt­ter, teg­n­er, fratrækker, opre­js­er), som han ikke definerer.

Sprog­et er monot­o­nt, og det er med vil­je, for når et ord én gang har fået sin betyd­ning i det geometriske univers, er det uhen­sigtsmæs­sigt at bruge andre syn­onymer, som man ville gøre, hvis man skrev en skøn­lit­terær tekst. Jeg har ikke tal på, hvor mange gange Euk­lid bruger ordet ara ’alt­så’ som indled­ning til en kon­klu­sion – men det skal naturligvis i over­sæt­telsen klart fremgå, at der står ara hver gang, lige­som ’kvadrat’ og ’firkant’ ikke bare kan bytte plads, som det kan i daglig tale. Euk­lids sprog er en form for formel­sprog, men uden den mod­erne matem­atiks sym­bol­er, og det er efter vores, over­sæt­ternes, mening vigtigt, at den mod­erne læs­er forstår og påskøn­ner dette særtræk ved Euk­lids stil, som i øvrigt er gået i arv til mange videnskaber.

Hvorfor en ny oversættelse?

Euk­lid har været over­sat tre gange før til dan­sk: I 1744 (Ziegen­balg), 1803 (Lin­derup) og 1897–1912 (Thyra Eibe). Thyra Eibes gode over­sæt­telse er den første, som benyt­ter en viden­sk­a­belig tek­studgave som grund­lag, men den man­gler af gode grunde en række ting, som de sid­ste godt hun­drede års Euk­lid­forskn­ing har gjort mere og mere tydeligt. Hun var – som alle andre – et barn af sin tid og særligt af den danske matem­atikpro­fes­sor H.G. Zeuthen, der docerede, at den græske matem­atik bedst kunne forstås, hvis den ’over­sattes’ til mod­erne nomen­klatur. Hen­des lær­er var den store filolog J.L. Heiberg, som stod for den viden­sk­a­belige udgave af Euk­lid (1886), der den dag i dag er stan­dard­ref­er­en­cen. Han forsynede sin tekst med en latin­sk over­sæt­telse (for at matem­atik­erne let­tere kunne følge med), og i den ind­førte han alskens sym­bol­er, som går igen i Thyra Eibes noget alt­modis­che danske gen­givelse. Hen­des bog var bereg­net på at være en lære­bog i geometri, og den er fuld­stændig blot­tet for indled­ning, not­er eller andre fork­laringer – alt­så lige­som forlægget.

Vi har i vores (fjerde danske) over­sæt­telse haft en helt anden til­gang svarende til nuti­dens opfat­telse af græsk naturv­i­den­skab, nem­lig at tek­sterne skal forstås i deres sam­men­hæng med den øvrige viden­sk­a­belige og filosofiske lit­ter­atur. Der­for fylder vores bog meget mere end Eibes, men vi bilder os ind, at vi er bedre ambas­sadør­er for Euk­lids egentlige ærinde: at læseren selv skal forstå, hvor­dan den virke­lige ver­den uden for hulen ser ud, og hvor­dan man kan erk­ende det.

Euklids rolle

Euk­lid står på skul­drene af en lang række græske matem­atikere, som vi af man­gel af bedre kalder pythagoræerne, og for hvem det var indl­y­sende, at der er to ver­den­er: Den foran­derlige fysiske ver­den, som vi selv er en del af, og en uforan­derlig, ikke-fysisk ver­den, hvor geome­trien og arit­metikken befind­er sig. Hans aksioma­tiske frem­still­ing blev tonean­givende for forskere som Archimedes og med ham renæs­san­cens matem­atikere og filosof­fer, og Euk­lids rolle som sys­te­mop­byg­ger kom til at spille en helt afgørende rolle for naturv­i­den­sk­aben også i nyere tid.

Tænk, hvis denne tanke om forbindelsen mellem det foran­derlige og det evige ikke havde slået rod i den antikke og senere naturv­i­den­skab. Hvor ville ingeniørkun­sten, it-boomet, fysikken og kemien være, hvis vi ikke accepterede, at ver­den kan beskrives i tal og lin­jer? Hvis antikken er til stede i det mod­erne sam­fund, så er det nok aller­mest i naturvidenskaben.

Chr. Gorm Tortzen er cand.mag i klas­sisk filolo­gi og lek­tor emer­i­tus ved Hels­ingør Gym­na­si­um og Køben­havns Uni­ver­sitet. Han har sam­men med Claus Glunk, Hanne Eggert Strand og Chr. Mar­i­nus Tais­bak over­sat og intro­duc­eret Euk­lids første seks bøger om plan­ge­ome­trien, som udkom i foråret 2021 på Gylden­dal. Over­sæt­telsen af de resterende bøger for­ventes at udkomme i 2022.


Læs resten af artiklerne: ANTIKKENS FORTÆLLINGER – I 2021

Scroll til toppen