Katastrofer i geometriske modeller – og vice versa

Foto: Christof­fer A. Ras­mussen / Wiki­me­dia Commons

Epidemien sendte en matematiker væk fra universitetet og en tur på landet, hvor der blev mulighed for at arbejde uforstyrret med differentialligninger. Året var 1665 og den unge mand var såmænd Isaac Newton. Han tilbragte 18 måneder i Woolsthorpe, imens Cambridge var nedlukket under Pesten. Differentialregningen med mere opfandt han der.

DET UNGE AKADEMI: I log­bo­gen Tanker i lock­down opteg­n­er 22 unge forskere fra Det Unge Akade­mi deres tanker om forskn­ing og dets rolle i sam­fun­det under lock­down­pe­ri­o­den i coro­n­akrisen. Forskerne reg­istr­erer deres tanker og bevæger sig rundt i grænse­fladerne mellem metode, erk­endelse, etik og offent­lighed, sam­tidig med, at de doku­menter­er den forskn­ingsver­den, som de til dagligt lever i. Bag­grund har – i samar­be­jde med Det Unge Akade­mi – skabt et onlinerum, hvor man kan gå på opdagelse i den gratis udgivelse.

Århun­dred­er senere er det blevet et fuld­kom­ment cen­tralt værk­tøj for men­nes­kets bereg­n­ing­sevne, for alle lige fra ingeniør­er til epi­demi­ologer og kvan­te­mekanikere. Vigtige gåder om eksis­tens, reg­u­lar­itet og andre egen­sk­aber for sådanne ligninger er stadig uløste, og gen­stand for intens mod­erne forskn­ing – ikke mindst i geome­trien og dens anven­delser i den mod­erne fysik, som man godt kan sige egentlig fødtes allerede i 1820 med H.C. Ørst­eds opdagelse af, at elek­tricitet og mag­net­isme er nært for­bundne fænomener.

Hvor meget i morgen?

Dif­fer­en­tial­ligninger er naturligt tilst­ede over­alt hvor man ønsker at spå om fremti­den. Under en virus­pan­de­mi kan man dagligt tygge drøv på de nyeste smit­te­tal: Jo flere smit­tede der er netop i dag, desto rel­a­tivt flere vil der være i mor­gen, med en fak­tor bestemt af antallet af nye som gårsdagens smit­ter­amte fik smit­tet. En sådan mod­el, som udtrykker hvor­dan den øje­b­likke­lige vækst af en stør­relse afhænger af stør­relsens vær­di netop nu, er et eksem­pel på en dif­fer­en­tial­lign­ing, blot her for­muleret med ord frem for formler.

Det begreb har vi her i år 2020 fået helt tæt på. Løs­nin­gen til lignin­gen for virustal­let i den sim­ple mod­el er gam­melk­endt, nem­lig en ekspo­nen­tialkurve, som er vok­sende hvis vi da antager at hver smit­tet smit­ter flere end én. Lad os sige cir­ka to, så vi for­dobler efter hvert døgn. Kur­ven ser nu meget flad ud i starten. Om vi mandag, tirs­dag og ons­dag har hen­holdsvis 1, 2 og 4 smit­tede gør vel ikke den store prak­tiske forskel. Men i virke­lighe­den er kur­ven i færd med at rase af sted. Fort­sæt­ter vi 8, 16, 32, 64, 128, 256, …, 2097152, har vi ladet tre uger for­løbe i leg­etøjs­mod­ellen. Snart er det anderledes katas­tro­falt med mil­lion­vis af smittede.

Mere real­is­tiske dif­fer­en­tial­ligninger for virus tager med at den smit­bare del af befolknin­gen må antages at aftage efterhånden som mange allerede har været smit­tede, og dermed enten er blevet immune eller døde. Kur­ven, der vis­er øje­b­liks­billedet af antal smit­tede som tiden går, vil der­for bøje af, siden bøje helt ned, og kur­ven får form mere som en bølle­hat. Disse smit­te­tal må så ikke blive for høje imens vi ven­ter på en vac­cine. Der­af det nu velk­endte mot­to fra sund­hedsmyn­dighed­erne: “Gør kur­ven flad!”. Et matem­a­tisk tan­keeksper­i­ment med store kon­sekvenser for vores katastrofehåndtering, som vi må takke New­ton for at have påbegyndt under 1600-tal­lets pestepi­de­mi, med hen­blik på at løse helt andre prob­le­mer. Her ser vi netop matem­atikkens styrke som uni­verselt idékatalog og værktøjskasse.

“Et af de mest bemærkelsesværdige forhold ved differentialligningerne…”

Således beg­y­n­dte David Hilbert i år 1900 på en kon­gres i Paris, frit over­sat, sit fore­drag om det der snart skulle blive kendt som Hilberts 19. prob­lem. Han fort­sat­te beskriv­elsen af det mys­teri­um, at løs­ninger ofte har høj ”glathed” (mere matem­a­tisk kaldet “reg­u­lar­itet”), alt­så er fri for små og store matem­a­tiske katas­tro­fer: For en bred klasse af geometriske og fysiske opti­mer­ing­sprob­le­mer er kurverne bl.a. helt uden sin­gu­lar­iteter såsom “knæk”, så specielt kan tan­gentlin­jer altid teg­nes. Kurverne er end­da såkaldt “reel ana­lytiske”, som er den aller­mest glat­te klasse af kurv­er, vi arbe­jder med.

Begre­berne “glathed” eller ækvi­va­lent ”fravær af sin­gu­lar­iteter” for løs­ninger er tekniske at udrede i detal­jer, men før­er mange vigtige kon­sekvenser med sig. F.eks. kan vi pege på det generelle prin­cip, at krumnin­gen af en glat kurve ikke kan springe i vær­di. Der­af kan man bevise vigtige egen­sk­aber for løs­ningskurv­er, helt uden fak­tisk at løse lignin­gen. Som et eksem­pel kan vi vise, end­da uden at vide speci­fikt hvor­dan tyn­gdekraften er, eller hvor­dan luft­mod­standens påvirkning afhænger af hastighe­den, at det er umuligt, at kanonku­glens banekurv­er er sam­men­stykkede af runde cirkel­buer og rette linjestykker (Fig­ur 1). Cirklen har kon­stant, pos­i­tiv krumn­ing lig med den rec­i­prokke radius, mens rette linjestykker har krumn­ing nul, så kur­vens krumn­ing hop­per i vær­di (er ikke kon­tin­uert), og sådan kan en glat løs­ningskurve alt­så ikke se ud. Set med en fysik­ers øjne hop­per kraftpåvirkningen plud­selig. Kunne man så ikke forestille sig en slags udglat­tet ver­sion af de for­budte hop? Nej, avancerede matem­a­tiske argu­menter for enty­dighed bevis­er nem­lig end­nu mere: Hvis en kanon­bane inde­hold­er blot et lillebitte lodret linjestykke, så er hele kur­ven én lodret linje.

Så kuglen falder ikke lodret til sidst, siger matem­atikken, uanset hvilken fysisk mod­el man væl­ger. Det kan man ellers se i mil­itære man­ualer om bal­lis­tik, at man engang troede (Fig­ur 1) – godt vil­dledt af tanken om at naturen da måtte fore­trække sådanne “skønne” kurv­er, ikke sandt? Her er alt­så et eksem­pel på, at den ret abstrak­te matem­a­tiske skøn­hed ”glathed” dvs. ”fravær af sin­gu­lar­iteter” vin­der over et mere naivt, og fak­tuelt fork­ert, matem­a­tisk skøn­hed­side­al om “lin­jer og cirkler”, som var fremkom­met ved forfin­ing af Aris­tote­les’ idéer om ele­menterne ild, vand, jord, luft og æter og deres ind­virkn­ing på fly­vende kugler. Skøn­hed afhænger som bek­endt af øjnene der ser – også i matematikken!

Selve Hilberts 19. prob­lem om glathed af løs­ninger blev løst i 1956–58 af De Gior­gi og uafhængigt af Niren­berg og Nash (tillige Nobel­prisvin­der i økono­mi, og portræt­teret i fil­men A Beau­ti­ful Mind), i arbe­jde der bl.a. lå til grund for at de sid­st­nævnte tildeltes Abel­prisen i 2015. John Nash, som jeg selv mødte mange gange i Prince­ton, måtte gå via ligningerne for varmeud­bre­delse, som måske ikke umid­del­bart ser ud til at have meget med prob­lemet at gøre – igen en typisk ting i matem­atik, at et markant skift af syn­spunkt og abstrak­tion­sniveau kan rumme nøglen til et svært prob­lem. Og Nash så det som en opvarmn­ingsøvelse. Han ville fors­tå teorien for bevægelse af luft- og vand­mass­er, kaldet Navier- Stokes ligningerne, hvilke f.eks. indgår i de kli­mamod­eller, der er cen­trale i at undgå en anden stor katas­trofe på plan­eten. Nash spurgte lige­som andre før ham: Kan der ops­tå matem­a­tiske katas­tro­fer i Navier-Stokes ligningerne? Alt­så, møder vi mon sin­gu­lar­iteter eller er der reg­u­lar­itet? Det er stadig et åbent spørgsmål, og blev i år 2000 sat på “Mil­le­ni­um Prob­lems” lis­ten over store uløste matem­a­tiske udfordringer.

Sæbebobler og singulariteter

Geome­trien beg­y­n­der med alt det vi ser lige foran os straks vi åbner øjnene: Afs­tande, længder, vin­kler, areal­er og rum­fang. Men­nes­kets hjerne er udviklet ganske godt til at fors­tå geometri, givetvis som del af en over­levelsesstrate­gi. Ikke over­rask­ende har Brown i sine “Human Uni­ver­sals” lis­tet “klas­si­fika­tion af rum” som et aspekt etno­graferne har bemær­ket sig, at ver­dens kul­tur­er har til­fælles. Geometrisk opti­mer­ing er også et livs­grund­lag et trin nede i fødekæ­den, hvor muslinger længe har været en efter­tragtet spise, hvilket enhver der har set en dyn­ge af ste­nalderkom­post kan bekræfte. De har der­for med hen­blik på over­levelse opbygget skaller af snedi­ge dobbelt­lag af kalkkrys­taller, som er stærkere end kon­struk­tion­er af enkelt­lag. En idé man i mate­ri­ale­fysikken vil kopiere for at kunne lave letvægts­dele til f.eks. fly.

Som et relateret, men enklere, eksper­i­ment i geometrisk opti­mer­ing kan vi forestille os, at en sæbe­boblemager har trukket en lang tud af sæbe­film ud fra en hula­ho­pring. Lige på det tid­spunkt er fil­men langt fra et sta­bilt min­i­mum af are­al, men over­flade­spændin­gen vil sørge for at sam­men­trække den, alt imens dens rand stadig sid­der fast. Måske indtil den blot er blevet en flad skive af sæbe hen­over rin­gen. En lig­nende pro­ces beskriv­er man matem­a­tisk vha. en par­tiel dif­fer­en­tial­lign­ing kaldet mid­delkrumn­ings­flow, som vis­er sig at være nært knyt­tet til ligningerne for varmeud­bre­delse, elek­triske fel­ter og den kvan­te­mekaniske fjed­er. Igen her må man spørge om det går godt eller om reg­u­lar­iteten af løs­ninger kan bryde sam­men i en sin­gu­lar­itet, en stor eller lille katastrofe?

Med en flade såsom sæbe­filmen, der trækker sig sam­men, kan sin­gu­lar­iteter nem­lig ops­tå på gevaldigt mange måder, har man længe for­mod­et. I mit eget arbe­jde har jeg været med til at bevise denne for­mod­ning: At sin­gu­lar­iteter kan ske på uen­deligt mange essen­tielt forskel­lige måder. Dermed er vi nu langt­fra færdi­ge, idet vi under­søger præ­cis hvilke sin­gu­lar­iteter der så kan ops­tå, samt hvor­dan man kan komme for­bi dem. I det sen­este pub­licerede resul­tat fra min gruppe, har vi bevist det, vi kalder en kilesæt­ning: Uanset hvor­dan sin­gu­lar­iteterne end måtte se ud, kan de aldrig være afgrænsede til en kile­formet del af rummet.

Kan vi fors­tå denne slags sin­gu­lar­iteter lær­er vi en masse bane­bry­dende både om geome­trien og generelt om opførslen af dif­fer­en­tial­ligninger, som vi godt kan være sikre på igen vil spille en stor rolle i at tak­le alver­dens ukendte frem­tidi­ge katas­tro­fer. At de selvsamme begre­ber således århundreder senere stadig er i spil havde sikkert gjort både New­ton og H.C. Ørst­ed ganske fornøjede.


Videre læsninger

Det Unge Akade­mi: Tanker i lockdown

T.H. Cold­ing, W.P Mini­cozzi II: In Search of Sta­ble Geo­met­ric Struc­tures, Notices of the AMS, Decem­ber 2019. [https://www.ams.org/journals/notices/201911/ rnoti-p1785.pdf]

K. Eck­er: Heat Equa­tions in Geom­e­try and Topol­o­gy, preprint (2008) [http://geometricanalysis.mi.fu-berlin.de/preprints/ dmv080331.pdf]

Scroll til toppen