Katastrofer i geometriske modeller – og vice versa
Epidemien sendte en matematiker væk fra universitetet og en tur på landet, hvor der blev mulighed for at arbejde uforstyrret med differentialligninger. Året var 1665 og den unge mand var såmænd Isaac Newton. Han tilbragte 18 måneder i Woolsthorpe, imens Cambridge var nedlukket under Pesten. Differentialregningen med mere opfandt han der.
DET UNGE AKADEMI: I logbogen Tanker i lockdown optegner 22 unge forskere fra Det Unge Akademi deres tanker om forskning og dets rolle i samfundet under lockdownperioden i coronakrisen. Forskerne registrerer deres tanker og bevæger sig rundt i grænsefladerne mellem metode, erkendelse, etik og offentlighed, samtidig med, at de dokumenterer den forskningsverden, som de til dagligt lever i. Baggrund har – i samarbejde med Det Unge Akademi – skabt et onlinerum, hvor man kan gå på opdagelse i den gratis udgivelse.
Århundreder senere er det blevet et fuldkomment centralt værktøj for menneskets beregningsevne, for alle lige fra ingeniører til epidemiologer og kvantemekanikere. Vigtige gåder om eksistens, regularitet og andre egenskaber for sådanne ligninger er stadig uløste, og genstand for intens moderne forskning – ikke mindst i geometrien og dens anvendelser i den moderne fysik, som man godt kan sige egentlig fødtes allerede i 1820 med H.C. Ørsteds opdagelse af, at elektricitet og magnetisme er nært forbundne fænomener.
Hvor meget i morgen?
Differentialligninger er naturligt tilstede overalt hvor man ønsker at spå om fremtiden. Under en viruspandemi kan man dagligt tygge drøv på de nyeste smittetal: Jo flere smittede der er netop i dag, desto relativt flere vil der være i morgen, med en faktor bestemt af antallet af nye som gårsdagens smitteramte fik smittet. En sådan model, som udtrykker hvordan den øjeblikkelige vækst af en størrelse afhænger af størrelsens værdi netop nu, er et eksempel på en differentialligning, blot her formuleret med ord frem for formler.
Det begreb har vi her i år 2020 fået helt tæt på. Løsningen til ligningen for virustallet i den simple model er gammelkendt, nemlig en eksponentialkurve, som er voksende hvis vi da antager at hver smittet smitter flere end én. Lad os sige cirka to, så vi fordobler efter hvert døgn. Kurven ser nu meget flad ud i starten. Om vi mandag, tirsdag og onsdag har henholdsvis 1, 2 og 4 smittede gør vel ikke den store praktiske forskel. Men i virkeligheden er kurven i færd med at rase af sted. Fortsætter vi 8, 16, 32, 64, 128, 256, …, 2097152, har vi ladet tre uger forløbe i legetøjsmodellen. Snart er det anderledes katastrofalt med millionvis af smittede.
Mere realistiske differentialligninger for virus tager med at den smitbare del af befolkningen må antages at aftage efterhånden som mange allerede har været smittede, og dermed enten er blevet immune eller døde. Kurven, der viser øjebliksbilledet af antal smittede som tiden går, vil derfor bøje af, siden bøje helt ned, og kurven får form mere som en bøllehat. Disse smittetal må så ikke blive for høje imens vi venter på en vaccine. Deraf det nu velkendte motto fra sundhedsmyndighederne: “Gør kurven flad!”. Et matematisk tankeeksperiment med store konsekvenser for vores katastrofehåndtering, som vi må takke Newton for at have påbegyndt under 1600-tallets pestepidemi, med henblik på at løse helt andre problemer. Her ser vi netop matematikkens styrke som universelt idékatalog og værktøjskasse.
“Et af de mest bemærkelsesværdige forhold ved differentialligningerne…”
Således begyndte David Hilbert i år 1900 på en kongres i Paris, frit oversat, sit foredrag om det der snart skulle blive kendt som Hilberts 19. problem. Han fortsatte beskrivelsen af det mysterium, at løsninger ofte har høj ”glathed” (mere matematisk kaldet “regularitet”), altså er fri for små og store matematiske katastrofer: For en bred klasse af geometriske og fysiske optimeringsproblemer er kurverne bl.a. helt uden singulariteter såsom “knæk”, så specielt kan tangentlinjer altid tegnes. Kurverne er endda såkaldt “reel analytiske”, som er den allermest glatte klasse af kurver, vi arbejder med.
Begreberne “glathed” eller ækvivalent ”fravær af singulariteter” for løsninger er tekniske at udrede i detaljer, men fører mange vigtige konsekvenser med sig. F.eks. kan vi pege på det generelle princip, at krumningen af en glat kurve ikke kan springe i værdi. Deraf kan man bevise vigtige egenskaber for løsningskurver, helt uden faktisk at løse ligningen. Som et eksempel kan vi vise, endda uden at vide specifikt hvordan tyngdekraften er, eller hvordan luftmodstandens påvirkning afhænger af hastigheden, at det er umuligt, at kanonkuglens banekurver er sammenstykkede af runde cirkelbuer og rette linjestykker (Figur 1). Cirklen har konstant, positiv krumning lig med den reciprokke radius, mens rette linjestykker har krumning nul, så kurvens krumning hopper i værdi (er ikke kontinuert), og sådan kan en glat løsningskurve altså ikke se ud. Set med en fysikers øjne hopper kraftpåvirkningen pludselig. Kunne man så ikke forestille sig en slags udglattet version af de forbudte hop? Nej, avancerede matematiske argumenter for entydighed beviser nemlig endnu mere: Hvis en kanonbane indeholder blot et lillebitte lodret linjestykke, så er hele kurven én lodret linje.
Så kuglen falder ikke lodret til sidst, siger matematikken, uanset hvilken fysisk model man vælger. Det kan man ellers se i militære manualer om ballistik, at man engang troede (Figur 1) – godt vildledt af tanken om at naturen da måtte foretrække sådanne “skønne” kurver, ikke sandt? Her er altså et eksempel på, at den ret abstrakte matematiske skønhed ”glathed” dvs. ”fravær af singulariteter” vinder over et mere naivt, og faktuelt forkert, matematisk skønhedsideal om “linjer og cirkler”, som var fremkommet ved forfining af Aristoteles’ idéer om elementerne ild, vand, jord, luft og æter og deres indvirkning på flyvende kugler. Skønhed afhænger som bekendt af øjnene der ser – også i matematikken!
Selve Hilberts 19. problem om glathed af løsninger blev løst i 1956-58 af De Giorgi og uafhængigt af Nirenberg og Nash (tillige Nobelprisvinder i økonomi, og portrætteret i filmen A Beautiful Mind), i arbejde der bl.a. lå til grund for at de sidstnævnte tildeltes Abelprisen i 2015. John Nash, som jeg selv mødte mange gange i Princeton, måtte gå via ligningerne for varmeudbredelse, som måske ikke umiddelbart ser ud til at have meget med problemet at gøre – igen en typisk ting i matematik, at et markant skift af synspunkt og abstraktionsniveau kan rumme nøglen til et svært problem. Og Nash så det som en opvarmningsøvelse. Han ville forstå teorien for bevægelse af luft- og vandmasser, kaldet Navier- Stokes ligningerne, hvilke f.eks. indgår i de klimamodeller, der er centrale i at undgå en anden stor katastrofe på planeten. Nash spurgte ligesom andre før ham: Kan der opstå matematiske katastrofer i Navier-Stokes ligningerne? Altså, møder vi mon singulariteter eller er der regularitet? Det er stadig et åbent spørgsmål, og blev i år 2000 sat på “Millenium Problems” listen over store uløste matematiske udfordringer.
Sæbebobler og singulariteter
Geometrien begynder med alt det vi ser lige foran os straks vi åbner øjnene: Afstande, længder, vinkler, arealer og rumfang. Menneskets hjerne er udviklet ganske godt til at forstå geometri, givetvis som del af en overlevelsesstrategi. Ikke overraskende har Brown i sine “Human Universals” listet “klassifikation af rum” som et aspekt etnograferne har bemærket sig, at verdens kulturer har tilfælles. Geometrisk optimering er også et livsgrundlag et trin nede i fødekæden, hvor muslinger længe har været en eftertragtet spise, hvilket enhver der har set en dynge af stenalderkompost kan bekræfte. De har derfor med henblik på overlevelse opbygget skaller af snedige dobbeltlag af kalkkrystaller, som er stærkere end konstruktioner af enkeltlag. En idé man i materialefysikken vil kopiere for at kunne lave letvægtsdele til f.eks. fly.
Som et relateret, men enklere, eksperiment i geometrisk optimering kan vi forestille os, at en sæbeboblemager har trukket en lang tud af sæbefilm ud fra en hulahopring. Lige på det tidspunkt er filmen langt fra et stabilt minimum af areal, men overfladespændingen vil sørge for at sammentrække den, alt imens dens rand stadig sidder fast. Måske indtil den blot er blevet en flad skive af sæbe henover ringen. En lignende proces beskriver man matematisk vha. en partiel differentialligning kaldet middelkrumningsflow, som viser sig at være nært knyttet til ligningerne for varmeudbredelse, elektriske felter og den kvantemekaniske fjeder. Igen her må man spørge om det går godt eller om regulariteten af løsninger kan bryde sammen i en singularitet, en stor eller lille katastrofe?
Med en flade såsom sæbefilmen, der trækker sig sammen, kan singulariteter nemlig opstå på gevaldigt mange måder, har man længe formodet. I mit eget arbejde har jeg været med til at bevise denne formodning: At singulariteter kan ske på uendeligt mange essentielt forskellige måder. Dermed er vi nu langtfra færdige, idet vi undersøger præcis hvilke singulariteter der så kan opstå, samt hvordan man kan komme forbi dem. I det seneste publicerede resultat fra min gruppe, har vi bevist det, vi kalder en kilesætning: Uanset hvordan singulariteterne end måtte se ud, kan de aldrig være afgrænsede til en kileformet del af rummet.
Kan vi forstå denne slags singulariteter lærer vi en masse banebrydende både om geometrien og generelt om opførslen af differentialligninger, som vi godt kan være sikre på igen vil spille en stor rolle i at takle alverdens ukendte fremtidige katastrofer. At de selvsamme begreber således århundreder senere stadig er i spil havde sikkert gjort både Newton og H.C. Ørsted ganske fornøjede.
Videre læsninger
Det Unge Akademi: Tanker i lockdown
T.H. Colding, W.P Minicozzi II: In Search of Stable Geometric Structures, Notices of the AMS, December 2019. [https://www.ams.org/journals/notices/201911/ rnoti-p1785.pdf]
K. Ecker: Heat Equations in Geometry and Topology, preprint (2008) [http://geometricanalysis.mi.fu-berlin.de/preprints/ dmv080331.pdf]